\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第七节\quad 斯托克斯公式 \textbullet 环流量与旋度}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}

\section{斯托克斯公式}
\begin{frame}{斯托克斯公式}

斯托克斯(Stokes) 公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 $\Sigma$ 上的曲面积分与沿着 $\Sigma$ 的边界曲线的曲线积分联系起来。 这个联系可陈述如下：
\pause
\begin{theorem*}
设 $\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面， $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则%
\footnote{就是说，当右手除拇指外的四指依 $\Gamma$ 的绕行方向时，拇指所指的方向与 $\Sigma$ 上法向量的方向相同。 这时称 $\Gamma$ 是有向曲面 $\Sigma$ 的正向边界曲线。
},
若函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ (连同边界 $\Gamma$ ) 上具有一阶连续偏导数， 则有
\begin{multline}\tag{7-1}
  \iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\\
  \oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z.
\end{multline}
\end{theorem*}

公式(7-1) 叫做\emph{斯托克斯公式}。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}
    \begin{wrapfigure}{r}{.26\textwidth}
        \centering
        \includegraphics[max width=.26\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-52}
      \caption*{图 11-28}
  \end{wrapfigure}
先假定 $\Sigma$ 与平行于 $z$ 轴的直线相交不多于一点，并设 $\Sigma$ 为曲面 $z=f(x, y)$ 的上侧， $\Sigma$ 的正向边界曲线 $\Gamma$ 在 $x O y$ 面上的投影为平面有向曲线 $C, C$ 所围成的闭区域为 $D_{x y}$ (图11-28).

我们设法把曲面积分
\[
\iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
化为闭区域 $D_{x y}$ 上的二重积分， 然后通过格林公式使它与
 曲线积分相联系。

  根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有
  \[\tag{7-2}
  \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial P}{\partial z} \cos \beta-\frac{\partial P}{\partial y} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
 \]

  由第九章第六节知道，有向曲面 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦为
 \[
  \cos \alpha=\frac{-f_{x}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}, \quad \cos \beta=\frac{-f_{y}}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}, \quad \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}
 \]
 \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}[续]

  因此 $\cos \beta=-f_{y} \cos \gamma$, 把它代入 (7-2) 式得
 \[
  \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} f_{y}\right) \cos \gamma \mathrm{d} S
 \]
  即
  \[\tag{7-3}
  \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} f_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
 \]
  上式右端的曲面积分化为二重积分时， 应把 $P(x, y, z)$ 中的 $z$ 用 $f(x, y)$ 来代替。 因为由复合函数的微分法，有
 \[
  \frac{\partial}{\partial y} P[x, y, f(x, y)]=\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} f_{y}
 \]
  所以，(7-3)式可写成
 \[
  \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{x y}} \frac{\partial}{\partial y} P[x, y, f(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
 \]
  根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域 $D_{x y}$ 的边界 $C$ 的曲线积分
 \[
  -\iint_{D_{x y}} \frac{\partial}{\partial y} P[x, y, f(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{C} P[x, y, f(x, y)] \mathrm{d} x
 \]
  于是
 \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}[续]
    \[
      \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\oint_{C} P[x, y, f(x, y)] \mathrm{d} x.
    \]
  因为函数 $P[x, y, f(x, y)]$ 在曲线 $C$ 上点 $(x, y)$ 处的值与函数 $P(x, y, z)$ 在曲线 $\Gamma$ 上对应点 $(x, y, z)$ 处的值是一样的， 并且两曲线上的对应小弧段在 $x$ 轴上的投影也一样， 根据曲线积分的定义， 上式右端的曲线积分等于曲线 $\Gamma$ 上的曲线积分 $\int_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x$. 因此，我们证得
  \[\tag{7-4}
  \iint_{\Sigma} \frac{\partial P}{\partial z} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-\frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\oint_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x .
 \]

  如果 $\Sigma$ 取下侧， $\Gamma$ 也相应地改成相反的方向，那么(7-4) 式两端同时改变符号， 因此(7-4) 式仍成立。

 其次， 如果曲面与平行于 $z$ 轴的直线的交点多于一个， 那么可作辅助曲线把曲面分成几部分， 然后应用公式 (7-4) 并相加。 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消， 所以对于这一类曲面公式(7-4)也成立。

  同样可证
 \[
    \begin{gathered}
       \iint_{\Sigma} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\frac{\partial Q}{\partial z} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oint_{\Gamma} Q \mathrm{~d} y, \\
      \iint_{\Sigma} \frac{\partial R}{\partial y} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\frac{\partial R}{\partial x} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\oint_{\Gamma} R \mathrm{~d} z .
     \end{gathered}
    \]
   把它们与公式 (7-4) 相加即得公式(7-1). 证毕。
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(7-1) 写成
\[
  \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
  \mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|=\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
\]
把其中的行列式按第一行展开， 并把 $\frac{\partial}{\partial y}$ 与 $R$ 的 “积” 理解为 $\frac{\partial R}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}$ 与 $Q$ 的 “积” 理解为 $\frac{\partial Q}{\partial z}$,等等，于是这个行列式就“等于”
\[
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\]
这恰好是公式 (7-1) 左端的被积表达式。

\pause
利用两类曲面积分间的联系， 可得斯托克斯公式的另一形式
\[
  \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
  \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \mathrm{d} S=\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z,
\]
其中 $\symbf{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量。
如果 $\Sigma$ 是 $x O y$ 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。 因此， 格林公式是斯托克斯公式的一种特殊情形。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  利用斯托克斯公式计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+$ $y \mathrm{~d} z$,其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个平面三角形 $\Sigma$ 上侧的法向量之间符合右手规则 (图 11-29).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.26\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.26\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-54}
\caption*{图 11-29}
\pause
\end{wrapfigure}

按斯托克斯公式，有
\[
\oint_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
而
\[
  \begin{aligned}
    & \iint_{\Sigma} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{D_{y z}} \mathrm{~d} \sigma=\frac{1}{2}, \\
  & \iint_{\Sigma} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x=\iint_{D_{z x}} \mathrm{~d} \sigma=\frac{1}{2}, \\
& \iint_{\Sigma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} \sigma=\frac{1}{2},
\end{aligned}
\]
\mbox{其中 $D_{y z}, D_{z x}$ 与 $D_{x y}$ 分别为 $\Sigma$ 在 $y O z, z O x$ 与 $x O y$ 面上的投影区域， 因此}
\[
  \oint_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z=\frac{3}{2}.
\]
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  利用斯托克斯公式计算曲线积分
  \[
  I=\oint_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z,
\]
其中 $\Gamma$ 是用平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ 截立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ 的表面所得的截痕，若从 $x$ 轴的正向看去，取逆时针方向 (图 11-30(a)).
\end{example}
\pause
\begin{figure}
  \begin{subfigure}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-54(2)}
  \caption*{(a)}
\end{subfigure}
\hskip 5em
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-54(1)}
\caption*{(b)}
\end{subfigure}
\caption*{图 11-30}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{solution}
  取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ 的上侧被 $\Gamma$ 所围成的部分， $\Sigma$ 的单位法向量 $n=$ $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$, 即 $\cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 按斯托克斯公式， 有
  \[
    I=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
      \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
    \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
  y^{2}-z^{2} & z^{2}-x^{2} & x^{2}-y^{2}
\end{array}\right| \mathrm{d} S=-\frac{4}{\sqrt{3}} \iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S .
\]
因为在 $\Sigma$ 上 $x+y+z=\frac{3}{2}$, 故
\[
I=-\frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \iint_{\Sigma} \mathrm{d} S=-2 \sqrt{3} \iint_{D_{x y}} \sqrt{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-6 \sigma_{x y}
\]
其中 $D_{x y}$ 为 $\Sigma$ 在 $x O y$ 平面上的投影区域 (图 11-30(b)), $\sigma_{x y}$ 为 $D_{x y}$ 的面积， 因
\[
  \sigma_{x y}=1-2 \times \frac{1}{8}=\frac{3}{4},
\]
故
\[
  I=-\frac{9}{2}.
\]
\end{solution}

\end{frame}


\section{空间曲线积分与路径无关的条件}

\begin{frame}
在第三节中，利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全类似地，利用斯托克斯公式，可推得空间曲线积分与路径无关的条件。

首先我们指出， 空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零。 关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题， 有以下结论：

\begin{theorem*}
设空间区域 $G$ 是一维单连通区域， 若函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则空间曲线积分 $\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 在 $G$ 内与路径无关 (或沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是
\[\tag{7-5}
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}
\]
在 $G$ 内恒成立。
\end{theorem*}

  \begin{proof}
  如果等式 (7-5) 在 $G$ 内恒成立， 那么由斯托克斯公式 (7-1) 立即可看出， 沿闭曲线的曲线积分为零， 因此条件是充分的。 反之， 设沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零， 若 $G$ 内有一点 $M_{0}$ 使 (7-5) 式中的三个等式不完全成立， 例如 $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$. 不妨假定
  \[
  \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)_{M_{0}}=\eta>0
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[\proofname (续)]
过点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 作平面 $z=z_{0}$, 并在这个平面上取一个以 $M_{0}$ 为圆心 半径足够小的圆形闭区域 $K$,使得在 $K$ 上恒有
\[
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \geqslant \frac{\eta}{2}
\]
设 $\gamma$ 是 $K$ 的正向边界曲线。 因为 $\gamma$ 在平面 $z=z_{0}$ 上，所以按定义有
\[
\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
\]
又由 $(7-1)$ 式有
\[
\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\iint_{K}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant \frac{\eta}{2} \cdot \sigma
\]
其中 $\sigma$ 是 $K$ 的面积， 因为 $\eta>0, \sigma>0$, 从而
\[
\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z>0
\]
这结果与假设矛盾， 从而 (7-5) 式在 $G$ 内恒成立。证毕。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
应用定理 2 并仿照第三节定理 3 的证法， 便可以得到
\begin{theorem*}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-56}
    \caption*{图 11-31}
\end{wrapfigure}

设区域 $G$ 是空间一维单连通区域， 若函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 与 $R(x, y, z)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则表达式 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 在 $G$ 内成为某一函数 $u(x, y, z)$ 的全微分的充分必要条件是等式 (7-5) 在 $G$ 内恒成立; 当条件 (7-5) 满足时， 这个函数 (不计一常数之差) 可用下式求出：
\[\tag{7-6}
u(x, y, z)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}^{(x, y, z)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z
\]
或用定积分表示为 (按图 11-31 取积分路径， 且此积分路径在 $G$ 内）
  \[\tag{7-6'}
      \begin{aligned}
          u(x, y, z)= \int_{x_{0}}^{x} P\left(x, y_{0}, z_{0}\right) \mathrm{d} x+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x, y, z_{0}\right) \mathrm{d} y+ 
          \int_{z_{0}}^{z} R(x, y, z) \mathrm{d} z .
      \end{aligned}
  \]
其中 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $G$ 内某一定点， 点 $M(x, y, z) \in G$.
\end{theorem*}
\end{frame}


\section{环流量与旋度}

\begin{frame}
设有向量场
\[
  \symbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k},
\]
其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均连续， $\Gamma$ 是 $\symbf{A}$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线， $\symbf{\tau}$ 是 $\Gamma$在点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量， 则积分
\[
\oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \symbf{\tau} \mathrm{d} s
\]
称为向量场 $\symbf{A}$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的\emph{环流量}。

~

由两类曲线积分的关系， 环流量又可表达为
\[
  \oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \symbf{\tau} \mathrm{d} s=\oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z.
\]
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求向量场 $A=\left(x^{2}-y\right) i+4 z j+x^{2} k$ 沿闭曲线 $\Gamma$ 的环流量， 其中 $\Gamma$ 为雉面 $z=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和平面 $z=2$ 的交线， 从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 为逆时针方向。
\end{example}

\begin{solution}
$\Gamma$ 的向量方程为
\[
r=2 \cos \theta \symbf{i}+2 \sin \theta \symbf{j}+2 \symbf{k}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .
\]
于是
\[
  \begin{gathered}
    \symbf{A}=\left(x^{2}-y\right) \symbf{i}+4 z j+x^{2} \symbf{k}=\left(4 \cos ^{2} \theta-2 \sin \theta\right) \symbf{i}+8 j+4 \cos ^{2} \theta \symbf{k}, \\
  \mathrm{d} \symbf{r}=(-2 \sin \theta \mathrm{d} \theta) \symbf{i}+(2 \cos \theta \mathrm{d} \theta) \symbf{j}, \\
\oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \symbf{\tau} \mathrm{d} s=\oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{0}^{2 \pi}\left(-8 \cos ^{2} \theta \sin \theta+4 \sin ^{2} \theta+16 \cos \theta\right) \mathrm{d} \theta=4 \pi .
\end{gathered}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  类似于由向量场 $\symbf{A}$ 的通量可以引出向量场 $\symbf{A}$ 在一点的通量密度 (即散度) 一样，由向量场 $\symbf{A}$ 沿一闭曲线的环流量可引出向量场 $\symbf{A}$ 在一点的环量密度或旋度。 它是一个向量， 定义如下：

设有一向量场
\[
\symbf{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \symbf{i}+Q(x, y, z) \symbf{j}+R(x, y, z) \symbf{k},
\]
其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数，则向量
\[
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \symbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \symbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \symbf{k}
\]
称为向量场 $\symbf{A}$ 的\emph{旋度}， 记作 $\operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}$, 即
\[\tag{7-7}
  \operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \symbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \symbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \symbf{k}
\]

利用向量微分算子 $\symbf{\nabla}$, 向量场 $\symbf{A}$ 的旋度 $\operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}$ 可表示为 $\symbf{\nabla} \times \symbf{A}$, 即
\[
  \operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}=\symbf{\nabla} \times \symbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}
  \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
\]

若向量场 $\symbf{A}$ 的旋度 $\operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}$ 处处为零， 则称向量场 $\symbf{A}$ 为\emph{无旋场}。 
而一个无源且无旋的向量场称为\emph{调和场}。 
调和场是物理学中另一类重要的向量场， 这种场与调和函数有密切的关系。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
    求例 3 中的向量场 $\symbf{A}$ 的旋度。
\end{example}
\begin{solution}
  \[
    \operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}=\symbf{\nabla} \times \symbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}
          i & j & k \\
          \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
        x^{2}-y & 4 z & x^{2}
      \end{array}\right|=-4 \symbf{i}-2 x \symbf{j}+\symbf{k}.
\]
\end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}
设斯托克斯公式中的有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量为
\[
  \symbf{n}=\cos \alpha \symbf{i}+\cos \beta \symbf{j}+\cos \gamma \symbf{k},
\]
则
\[
  \operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A} \cdot \symbf{n}=\symbf{\nabla} \times \symbf{A} \cdot \symbf{n}=\left|\begin{array}{ccc}
  \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
\]
于是，斯托克斯公式可以写成下面的向量形式
\[\tag{7-8}
  \iint_{\Sigma} \operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A} \cdot \symbf{n} \mathrm{d} S=\oint_{\Gamma} \symbf{A} \cdot \symbf{\tau} \mathrm{d} s
\]
或
\[\tag{7-8'}
  \iint_{\Sigma}(\operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A})_{\symbf{n}} \mathrm{~d} S=\oint_{\Gamma} \symbf{A}_{\symbf{\tau}} \mathrm{d} s
\]
斯托克斯公式 (7-8) 表示： 向量场 $\symbf{A}$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量等于向量场 $\symbf{A}$ 的旋度通过曲面 $\Sigma$ 的通量， 这里 $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧应符合右手规则。
\end{frame}

\begin{frame}
  最后， 我们从力学角度来对 $\operatorname{\symbf{rot}} \symbf{A}$ 的含义作些解释。

~

设有刚体绕定轴 $l$ 转动， 角速度为 $\symbf{\omega}$, $M$ 为刚体内任意一点。 在定轴 $l$ 上任取一点 $O$ 为坐标原点， 作空间直角坐标系， 使 $z$ 轴与定轴 $l$ 重合， 则 $\symbf{\omega}=\omega \symbf{k}$, 而点 $M$ 可用向量 $\symbf{r}=\overrightarrow{O M}=(x, y, z)$ 来确定。 由力学知道， 点 $M$ 的线速度 $\symbf{v}$ 可表示为
\[
  \symbf{v}=\symbf{\omega} \times \symbf{r} .
\]
由此有
\[
  \symbf{v}=\left|\begin{array}{lll}
  \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
0 & 0 & \omega \\
x & y & z
\end{array}\right|=(-\omega y, \omega x, 0)
\]
而
\[
  \operatorname{\symbf{rot}}\symbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}
  \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
-\omega y & \omega x & 0
\end{array}\right|=(0,0,2 \omega)=2 \symbf{\omega} .
\]
从速度场 $\symbf{v}$ 的旋度与旋转角速度的这个关系， 可见 “旋度” 这一名词的由来。
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\end{document}
